摘要：微分方程是应用数学中一个活跃的分支,其应用已深入到许多方面.众多生活现象的概括都需要通过建立微分方程来反映局部与整体的联系,众多自然科学的定律、学科概念的提出都可以通过微分方程得到精确的表达.因此,如何简单有效地求解微分方程成为了解决问题的关键.

不同类别的微分方程的求解方法往往不同,而拉普拉斯变换规避了一般解法的缺点,广泛应用于求解多种类别的微分方程.本文通过介绍拉普拉斯变换和微分方程相关知识,总结了利用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤,举例说明了拉普拉斯变换在求解微分方程的初值问题和边值问题、分段微分方程、含狄拉克函数的微分方程、微分方程组、非齐次微分方程以及高阶齐次线性微分方程中的应用,归纳出利用拉普拉斯变换求解微分方程的优势和局限性.

关键词：微分方程;拉普拉斯变换;应用

目录

摘要

Abstract

第0章 引言-1

第1章 拉普拉斯变换与微分方程相关知识-2

1.1 拉普拉斯变换的由来-2

1.2 预备知识-2

1.3 拉普拉斯变换的定义-3

1.4 拉普拉斯变换的性质-4

1.5 微分方程的定义及实际应用-6

第2章 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用-8

2.1 利用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤-8

2.2 利用拉普拉斯变换求解初值问题、边值问题-8

2.3 利用拉普拉斯变换求解分段微分方程-10

2.4 利用拉普拉斯变换求解狄拉克函数的应用问题-12

2.5 利用拉普拉斯变换求解线性微分方程组-14

2.6 利用拉普拉斯变换求解非齐次微分方程的特解-16

2.7 拉普拉斯变换在求解高阶齐次线性微分方程中的推广-19

第3章 拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势和局限性-22

3.1 拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势-22

3.2 拉普拉斯变换在求解微分方程中的局限性-22

总结-23

参考文献-24