摘要：从最基本的三维刚体平移旋转的数学特征入手, 观察到表示旋转的三阶旋转矩阵全体关于矩阵乘法构成特殊正交群; 引入齐次坐标, 则刚体的平移与旋转的组合变换, 统称位姿变换形成的变换矩阵关于矩阵乘法构成特殊欧式群.

引入群论观点, 虽和不是向量空间, 但它们可以表示为矩阵李群.李群是群、也是一个微分流形, 具有群运算的性质; 矩阵李群进一步规定了群的元素是矩阵, 群上运算是矩阵乘法, 求逆运算就是矩阵求逆.从直观上看, 一个三维刚体在空间中连续地运动, 因此表示该运动的旋转矩阵或变换矩阵的李群应当是光滑的流形, 从而可以做微分运算, 并通过研究切空间来研究矩阵李群.引入李代数, 根据李代数与李群一一对应的关系(指数映射), 通过BCH线性近似, 可以定义李群上的导数.

矩阵李群理论研究世界坐标系和机器人坐标系的变换的关系; 计算机视觉研究图像或视频中的目标怎样去识别, 并根据所得的李群理论规律, 将图像或视频中的目标的运动用数学语言描述出来, 并进行位姿估计、实时定位和建立地图, 并进行扰动优化、修正误差.

关键词  矩阵 ;  位姿变换; 李群 ; 李代数 ; 计算机视觉 ;  SLAM.

目录

摘要

Abstract

1-坐标变换-1

1.1-仿射坐标变换, 向量和点的坐标变换公式、过渡矩阵-1

1.2-直角坐标变换-2

2-刚体的运动、旋转的表示-3

2.1-点乘(内积)-3

2.2-叉乘-4

2.3-直角标架下过渡矩阵的性质-5

2.4-描述刚体的运动-6

2.5-欧拉角和四元数表示旋转-7

3-微分几何简述、Lie群和Lie代数-8

3.1-微分几何简述-8

3.2-Lie群-10

3.2.1-典型群: Lie群的例子-10

3.3-Lie代数-14

3.3.1-Lie代数的例子

参考文献