摘要：留数定理是复变函数理论的重要内容，是连通留数与复积分的桥梁。为了能够更加全面的理解与应用留数定理，本文首先对留数定理的有关概念进行较为详细的阐述；其次，展开留数定理在积分计算中的应用，最后在叙述留数理论的推广。留数定理的主要应用是计算解析函数沿着光滑闭曲线的路径积分，方法是将这样的积分转化为计算孤立奇点处的留数之和。这样，应用留数定理就能计算一些不易求得的积分，所以留数定理在作理论探讨和实际应用中都具有非常重要的意义。

关键词 留数；留数定理；积分；孤立奇点

目录

摘要

Abstract

1 引言-1

2 留数定理的简介-1

2.1 留数及留数定理-1

2.1.1 留数-2

2.1.2 柯西留数定理-2

2.2 留数定理的意义-3

2.3 留数的计算-3

2.3.1 孤立奇点-3

2.3.2 留数的求法-5

2.3.3 留数计算举例-6

2.4 留数在无穷远处的留数-7

3 留数定理的应用-9

3.1 用留数定理计算实积分-9

3.1.1 计算-9

3.1.2 计算型积分-10

3.1.3 计算型积分-11

3.2 辐角原理-12

3.2.1 对数留数-13

3.2.2 辐角原理-14

3.2.3 鲁歇定理-15

参考文献-17