摘要：微分中值定理是微分学的基本定理，是应用导数研究函数在区间整体性态的有力工具.罗尔中值定理作为微分中值定理之一，经常用来证明零值点的存在性、最值问题和其他中值定理.罗尔定理是微分中值定理中最基本的定理，也是最重要的定理之一，是沟通函数与其导数的桥梁.一般的数学分析教材中叙述的罗尔定理的条件要求是相当苛刻的，既要求函数在闭区间上连续、在开区间内可导，又要求函数在区间端点处的函数值相等.本文主要介绍了罗尔中值定理的内容及其几何意义、罗尔中值定理的证明、罗尔中值定理的教学方法推广、罗尔中值定理的应用.

关键词：罗尔中值定理；罗尔中值定理的推广；罗尔中值定理的应用

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摘要

ABSTRACT

1.罗尔中值定理的内容及其几何意义-1

1.1 罗尔中值定理的内容-1

1.2 罗尔中值定理的几何意义-3

2.罗尔中值定理的证明及其推广-4

2.1 罗尔中值定理的证明-4

2.2 罗尔中值定理的推广-5

2.2.1 区间两端极限都存在下的推广-5

2.2.2 区间两端极限都不存在下的推广-6

3.罗尔中值定理教学方法的推广-11

3.1 罗尔中值定理的现有教学方法梳理-11

3.2 罗尔中值定理的教学方法推广-11

3.2.1 采用启发性教学-11

3.2.2 采用综合分析教学-11

3.2.3 归纳总结形成体系-12

4.罗尔中值定理的应用-13

4.1 利用罗尔定理解决零点问题-13

4.1.1 用广义的罗尔定理解决一些求零点的问题-13

4.1.2 应用罗尔定理解决函数零点问题-14

4.2 利用罗尔定理确定方程根的问题-16

4.2.1 结合其他中值定理证明方程根的个数问题-16

4.2.2 罗尔定理在讨论多项式方程的根中的应用-17

4.3 利用罗尔定理证明恒等式-18

4.4 拉格朗日定理及柯西中值定理的证明-20

5.结论-23

参考文献-24

致谢-25