内容摘要：不等式是高等数学中十分重要的组成部分，它的证明在数学中有着举足轻重的地位和作用。本文主要介绍利用积分的定理与性质来证明不等式的一些基本技巧与方法，如积分中值定理、施瓦茨不等式、分部积分法、二重积分的对称变换法等，较好地解决了不等式的证明问题。

本文以积分法在不等式证明中的应用为主线，按照不同积分在不等式证明中的应用来划分章节，每一章节里面不仅给出具体方法，而且通过实例对所给方法加以说明，并进行系统地归纳与总结。希望本文的工作能为学习数学分析的人提供有益参考。

关键词：不等式，基本积分不等式，定积分，二重积分，应用

目录

内容摘要

Abstract

1 引言1

1.1 背景1

1.2 研究意义1

1.3 写作思路2

2 基本积分不等式在不等式证明中的应用3

2.1 施瓦茨不等式3

2.2 平均值不等式5

2.3 Holder不等式6

3 定积分在不等式证明中的应用8

3.1 利用定积分保序性证明不等式 8

3.1.1 利用整体放缩证明不等式 8

3.1.2 利用部分放缩证明不等式 9

3.1.3 利用泰勒展开证明不等式 10

3.1.4 利用中心对称和单调性证明不等式 11

3.2 利用牛顿—莱布尼茨法证明不等式 13

3.3 利用积分第二中值定理证明不等式 14

3.4 利用导数与单调性证明不等式 15

3.5 利用分部积分法证明不等式 16

3.6 利用凹凸性证明不等式 17

4 二重积分在不等式证明中的应用21

4.1 转化法 21

4.2 转换法 22

4.3 对称变换法 23

5 总结与展望26

5.1 总结 26

5.2 展望 26

参考文献27

致谢28